Egresado del Centro Universitario de Teatro, comenzó su carrera de actor teatral en 1964. Estudió y se licenció en Odontología en la Universidad Autónoma de México. En 1970 —mientras desempeñaba su labor como odontólogo— fue el segundo actor que llamó Roberto Gómez Bolaños (Chespirito) para actuar en su programa televisivo El Chavo del Ocho (Gómez ya había llamado primero a Florinda Meza).

En estos programas Vivar fue conocido por sus personajes: el Señor Barriga, Ñoño y el caquito Botija:

    * El señor Barriga (Zenón Barriga y Pesado), era el propietario de la vecindad donde vivía el Chavo; y Ñoño (actuado por él mismo) era su hijo. Cada vez que el Sr. Barriga (apellido creado como una referencia a su obesidad) llegaba a la vecindad, era bienvenido con una patada, tropezón, trompada o golpe con un objeto lanzado por el Chavo (cuando quería pegarle a Quico). El Sr. Barriga rara vez tenía éxito en cobrarle la renta a Don Ramón.
    * Ñoño (Febronio Barriga Gordorritúa), era el hijo del Sr. Barriga. Este personaje siempre era usado para los chistes de gordos en el salón de clases. Sólo aparecía fuera de la escuela si en cualquier escena se necesitaba un niño adicional. Ñoño era buen estudiante y tenía buen corazón, pero como la mayoría de los niños, es muy ingenuo. En años posteriores, cuando Carlos Villagrán abandonó el grupo, también sustituyó al personaje Quico. En la serie animada Ñoño reemplaza a la Chilindrina. Según Vivar, el señor Barriga y su hijo el Ñoño son la misma persona, ya que el Sr. Barriga fue como Ñoño cuando niño y Ñoño de grande será como el Sr. Barriga.
    * Botija (Gordon Botija Pompa y Pompa, o Gordon Botija y Aguado) era un ladrón en Los Caquitos, amigo de Chómpiras (Aquiles Esquivel Madrazo o Mimí Mickey Bisvirudolfo Esquivel Madrazo o Parangacutirimicuarodolfo Parangacutirimín, representado por Roberto Gómez Bolaños), casado con Chimoltrufia (María Expropiación Petronila Lascurain y Torquemada de Botija, representada por Florinda Meza), yerno de Espota Verberona Torquemada viuda de Lascurain, e hijo de Doña Ramona (o doña Jamona, interpretada por el mismo Édgar Vivar).

Este show del Chavo se volvió un éxito internacional, y Vivar recorrió con el grupo Latinoamérica, España y EE. UU. Filmó varias películas en México y EE.&UU. En 1997 actuó en la telenovela Alguna vez tendremos alas producida por su coestrella Florinda Meza. Por esa participación ganó ese año el premio al «Mejor actor dramático».

Vivar participó en obras teatrales como Marcelino, pan y vino y En Roma el amor es broma, e hizo un papel cómico como cantante (tiene una bella voz de barítono) en la zarzuela Luisa Fernanda (con la que salió de gira por Miami, Boston y otras ciudades de EE. UU.).

En 1992, abandonó la serie Chespirito (de Gómez Bolaños) ya que su sobrepeso le había causado problemas cardiovasculares. Luego enfrentó un problema glandular que lo llevó a aumentar más de peso. Se internó en una clínica para adelgazar, y luego —gracias a un continuo tratamiento médico— logró bajar 42 kg, lo que le salvó la vida.

Siguió viajando por países donde los shows de Chespirito se mantienen en televisión. Participó en un circo en Argentina, aunque sufrió un accidente cuando intentaba subirse a un elefante como parte de su actuación.

En el 2004 hizo el doblaje del vampiro Max en El show del vampiro, el cortometraje más visto en la historia del cine mexicano, con nueve millones de espectadores. Allí trabajó junto con Rubén Aguirre (el ex profesor Jirafales). Actualmente tiene una propuesta para realizar el largometraje correspondiente, a estrenar en el año 2008.

En el 2005 intervino —con un papel melodramático— en la telenovela mexicana Amarte así, escrita por Moisés Guerrero. El programa se transmitió con éxito en Sudamérica, España y EE. UU. Hace el papel de don Pedro, un hombre solitario que trabaja como cajero en el restaurante (llamado El Frijol) de su hijastro.
En Brasil

En 2003, Édgar Vivar viajó a Brasil y estuvo en el programa Falando francamente, presentado por Sônia Abrão en SBT, ya en excelente estado de salud y donde recibió muchos homenajes de fanáticos del Chavo (en Brasil bautizado Chaves) y de los trabajadores de la emisora, en especial de la presentadora de Bom Día & Cía, Jackeline Petkovic, que se emocionó mucho al conocer al actor.

Ese mismo día conoció a su doblador en Brasil, Mário Vilela (quien falleció de diabetes el 1.º de diciembre de 2005).

En 2006, dio una entrevista exclusiva a la Radio Jovem Pan, de São Paulo, para hablar la victoria de México en su primer juego en la Copa del Mundo en Alemania, contra Irán, por 3 a 1.
En Argentina

Fue coproductor —junto a Adriana Barraza (actriz mexicana nominada al Óscar)— de la miniserie argentina Posdata, en la que participaron destacados actores mexicanos (Luis Felipe Tovar, Margarita Gralia, Julieta Egurrola, Margarita Sanz y Vanessa Bauche). Se trataba de 24 historias dramáticas de media hora (Vivar actúa en una de ellas), concretadas en 12 programas de 60 minutos.

Realizó una participación especial en el programa La noche del diez (en Buenos Aires), dirigido por el futbolista Diego Armando Maradona.

En no mucho tiempo grabará la segunda parte de Frijolito.
En la actualidad

Vivar sufrió dos graves tromboembolias pulmonares que lo mantuvieron en terapia intensiva. Desde 2003 realizó su recuperación (a base de ejercicios respiratorios, el trabajo de los especialistas y medicamentos). Tuvo que cargar un tanque portátil de oxígeno (que ahora utiliza sólo durante las noches). Conociendo sus dotes como cantante barítono y actor, el productor estadounidense Morris Gilbert lo invitó a participar en la comedia musical El violinista en el tejado, pero Vivar no pudo aceptar, pues requería de un esfuerzo respiratorio.

Trabaja en el Consejo Directivo de la ANDI (Asociación Nacional de Intérpretes) de México.

En 2006, Édgar Vivar apareció en la película estadounidense Bandidas (con Penélope Cruz y Salma Hayek), haciendo de gerente de banco. Por un error de guion, fallece en la explosión del banco (los protagonistas lo olvidan desmayado), pero su cadáver desaparece.

En mayo de 2007 participó en la grabación en México de la película All inclusive, del director chileno Rodrigo Ortúzar (Mujeres infieles (2004)). En la película trabajan también la española Mónica Cruz —hermana de Penélope Cruz—, la mexicana Ana Serradilla y las chilenas Leonor Varela y